مجموعه آموزش ریاضیات

یکی از دروس پایه ای همه رشته های مهندسی، درس ریاضی ۱ است. قبل از مطالعه این درس باید با مفاهیم ریاضی پایه مانند مجموعه ها، اتحادها، چند جمله ای، تابع درجه 2، مثلثات، تابع و انواع تابع آشنا بود. در این فرادرس ابتدا به حد و پیوستگی می پردازیم و سپس درس را با معرفی مشتق و انتگرال و کاربردهای آن ادامه می دهیم. در نهایت مختصات قطبی، اعداد مختلط و دنباله و سری آموزش داده می شود.

ریاضیات مهندسی، هنر اعمال ریاضیات به سیستم های واقعی پیچیده است که با ترکیب تئوری های ریاضیاتی، مهندسی عملی و محاسبات علمی به حل چالش های مهندسی می پردازد. بدون هیچ گونه تردیدی، ریاضیات مهندسی جز جدایی ناپذیر تمام علوم مهندسی است که بدون آن امکان حل اغلب مسائل مهندسی وجود ندارد. برای مثال در رشته مهندسی برق، برای بررسی نحوه پخش ولتاژ الکتریکی در داخل اجسام رسانا و یا در مهندسی مکانیک برای تحلیل ارتعاشات یک صفحه مستطیلی، از معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی استفاده می شود که این موضوع به صورت دقیق در ریاضیات مهندسی آموزش داده می شود.

در گذشته، فرض بر این بود که ریاضیات برای گروه خاصی از افراد جامعه است و ریاضیات را همه نمی توانند یاد بگیرند. با تغییر هدف آموزش ریاضی، ضرورت آموزش ریاضی برای همگان درک شد. برای کمک به درک بهتر از مسائل، باید ریاضیات به صورت یک کل، آموزش داده شود. متأسفانه در دروس آکادمیک، ریاضیات را به صورت یک جزء به ما آموخته اند و صورت کلی از ریاضی در ذهن اکثر دانشجویان نقش نبسته است. بعد از یادگیری مفاهیم پایه در این آموزش می توان به یادگیری مفاهیم موجود در ریاضی ۱ مانند حد و پیوستگی، مشتق، انتگرال، دنباله و سری و اعداد مختلط پرداخت. این آموزش برای دانشجویان پیام نور نیز مناسب ارزیابی می شود.

در مجموعه فرادرس های آموزش معادلات دیفرانسیل، با شروع از مبانی درس معادلات دیفرانسیل و مقدمه چینی های نظری لازم، به صورت کاملا نظام مند، مباحث درس معادلات دیفرانسیل (در حدی که در مقطع کارشناسی و در دانشگاه های ایران معمول و مرسوم است) به همراه جزئیات کامل تئوری، با بیان گام به گام و توام با حل مثال ها و مسائل نمونه، مورد بحث و بررسی واقع شده است. در پایان، با حل نمونه سوال هایی از آزمون کارشناسی ارشد که مربوط به درس معادلات دیفرانسیل هستند، هم بر روی مباحث مطرح شده، مروری کامل و عملی انجام شده است و هم تکنیک های حل مسائل نیز، بررسی شده اند.

درس ریاضی عمومی 2، بخشی از واحدهای الزامی دانشگاهی در مقطع کارشناسی است که پس از گذراندن درس ریاضی عمومی ۱ باید طی شود. تمام دانشجویان رشته های مهندسی اعم از: برق، عمران، کامپیوتر، معماری و علوم مختلف پایه، باید این درس را بگذرانند. در این آموزش از مثال هایی در مورد توابع مثلثاتی، نمایی و لگاریتمی استفاده شده است که دانشجویان واقعا با این توابع مشکل دارند. همچنین مخاطبان عزیز برای تمرینات بیشتر می توانند از آموزش ریاضی عمومی ۲ (مرور و حل تمرین) نیز استفاده کنند.

امروزه در علوم مهندسی و به خصوص مهندسی صنایع و رایانه، علم آمار کاربرد زیادی پیدا کرده است، به طوری که هیچ طرح تحقیقاتی بدون استفاده از فنون آماری انجام نمی گیرد. آگاهی از روش های آماری در انجام امور کنترل کیفیت تولید نقش مهمی دارد. بنابراین آموزش آمار برای رشته های غیر آماری ضرورت پیدا کرده است.

در این آموزش سعی شده است، مفاهیم و کاربردهای فنون آماری برای رشته های غیر آماری توضیح داده شود. اغلب از مثال هایی مرتبط با علوم مهندسی استفاده شده است، که در درک مفهوم مورد نظر موثر خواهد بود.

امروزه اهمیت یادگیری ریاضیات و آمار بر کسی پوشیده نیست و عمدتا برای موفقیت و پیشرفت در هر کاری، انسان باید مبانی ریاضی و محاسبات مربوطه را بداند. از این رو همواره بخش عمده ای از سوالات آزمون های استخدامی متنوعی که در کشور عزیزمان برگزار می شود، سوالات ریاضی و آمار است. فراگیری ریاضیات و آمار مقدماتی از طرفی برای یادگیری ریاضیات سطح عالی و فهم بسیاری از علوم وابسته مثل فیزیک و شیمی ضروری است و از طرفی هم به عنوان بازی ذهن، باعث تقویت قوه تحلیل و استنباط اشخاص می گردد.

در این آموزش به بیان تکنیک هایی پرداخته شده است که با یادگیری آن ها می توان سرعت انجام عملیات ریاضی را افزایش داد. این افزایش سرعت در حل تمرین برای کسب موفقیت در آزمون ها می تواند مفید باشد و علاوه بر آن، شما را از ماشین حساب بی نیاز کند یا در آزمون هایی که اجازه استفاده از ماشین حساب را ندارید، به شما کمک کند. مطالبی را که در این فرادرس جمع آوری کرده ایم به صورت پراکنده در منابع داخلی و خارجی وجود دارند و اکنون با حل مثال های گوناگون در اختیار مخاطبین قرار می گیرند.

معادلات دیفرانسیل یکی از دروس پرکاربرد در بسیاری از رشته ها است و تاکنون انواع مختلفی از این معادلات معرفی شده که می توان گفت در هر رشته، معادلات دیفرانسیل خاصی مدنظر بوده و لازم است تا دانشجویان راه حل آن ها را فراگیرند. به عنوان مثال می توان رشته مهندسی برق مخابرات را در نظر گرفت. کاربرد معادلات دیفرانسیل در این رشته بسیار کم و ممکن است در هیچ مساله ای با معادلات دیفرانسیل رو به رو نشویم اما در رشته ای مانند مهندسی مکانیک به منظور تحلیل دینامیک و ارتعاشات سیستم ها و صفحات لازم است تا دانشجویان این رشته با چندین نوع از معادلات دیفرانسیل آشنا بوده و توانایی اضافه و کم کردن عبارت های مرتبه n ام دیفرانسیلی و تبدیل معادلات از حالتی به حالت دیگر را داشته باشند.

ریاضی عمومی 2، جزو پایه ای ترین دروس مقطع کارشناسی تمام گرایش های مهندسی است. در این درس، در ابتدا به جبرخطی و سپس در ادامه آن در درس دوم به هندسه تحلیلی پرداخته می شود. در درس سوم، آنالیز برداری و در درس های چهارم تا هفتم آنالیز توابع چند متغیره ارائه می شود. در این درس ها توابع چند متغیره از جنبه های حد، مشتق و انتگرال، مورد بررسی قرار می گیرند. در درس هشتم انتگرال منحنی ها و کاربردهای آن ها و در نهایت، در درس آخر، انتگرال رویه ها و قضایای استوکس (Stokes) و گاوس (Gauss) معرفی می شوند. روش آموزش این فرادرس، کاملا مساله محور است و فقط از طریق حل مساله های مختلف امتحانی و کنکوری، ریاضی عمومی ۲ آموزش داده می شود.

درس ریاضیات مهندسی جزو مهم ترین و مفهومی ترین دروس مقطع کارشناسی اغلب رشته های مهندسی است و پیش نیاز اساسی برای مطالعه سایر دروس پیشرفته به حساب می آید. یکی از راه های اساسی برای یادگیری مفهومی این درس حل تمرینات متنوع و گوناگون است. به همین دلیل در آموزش ریاضیات مهندسی سعی داریم با حل مساله های مختلف و مفهومی نگرشی نو در کاربرد ریاضیات مهندسی در علوم مهندسی ایجاد کنیم. این آموزش در ادامه آموزش ریاضیات مهندسی فرادرس قرار می گیرد و حدود ۳۰ درصد از مطالب و نکات اصلی آن مرور می شود و مابقی زمان آموزش را به حل مساله و تمرین می پردازیم.

هدف از آموزش مجموعه تست های ریاضی پایه، آماده سازی داوطلبان کنکور کارشناسی و کارشناسی ارشد است. همچنین برای افرادی که در کنکورهای استخدامی شرکت می‌کنند، مفید است. اهمیت این آموزش این است که با یادگیری روش های تست زنی، تسلط بیشتری به مطالب آموزش داده شده در فرادرس ریاضی پایه که قبل از این آموزش تهیه شده است، پیدا خواهد شد. مسیر ارائه این این آموزش به این صورت است که تست های هر مبحث به صورت دسته بندی شده بررسی می شوند. این تست‌ها شامل تست های تألیفی، تست های کنکور سراسری، کاردانی به کارشناسی و کارشناسی ارشد می باشد.

مباحث مطرح شده در این فرادرس، کاملا منطبق بر مباحث طرح شده در کتاب «ریاضیات مهندسی، مولف پروفسور آروین کرویت سیگ، با ترجمه دکتر عبدالله شیدفر» است. این آموزش برای دانشجویان مقطع کارشناسی و عموم علاقه مندان که قصد شرکت در آزمون کارشناسی ارشد و یا آزمون دکتری را دارند، مناسب است. در این فرادرس بررسی تست های کنکور کارشناسی ارشد و دکترای تخصصی از سال ۸۵ تا ۹۶ به صورت گام به گام انجام شده است.

ما در این فرادرس قصد داریم تا مسائل درس معادلات دیفرانسیل را هم به کمک فرمول هایی که در کلاس های دانشگاهی بیان می شوند و هم به کمک میپل حل کنیم. این کار به ما این امکان را می دهد که اگر در طول انجام محاسبات دچار اشتباه شدیم و یا با محاسبات سنگینی رو به رو گشتیم، بتوانیم از میپل کمک بگیریم. همچنین ما سعی خواهیم کرد که برخی از نتایج و فرمول هایی که در درس معادلات دیفرانسیل بیان می شوند را به کمک نرم افزار میپل اثبات کنیم. در آخر نیز برای هر بخش تمریناتی را معرفی خواهیم کرد که آن ها را می توانید هم به صورت دستی و هم به کمک میپل حل نمایید.

در این آموزش، سعی بر آن داریم تا مجموعه بزرگی از سوالات آمار و احتمال مشتمل بر تمرینات کتاب های مهم کنکورهای کارشناسی ارشد را حل کنیم. این مجموعه برای دانشجویان کارشناسی رشته های: مهندسی کامپیوتر، مهندسی فناوری اطلاعات، علوم کامپیوتر و مهندسی برق منبع بسیار مفیدی خواهد بود تا بتوانند با انواع مسائل درس آمار و احتمالات مهندسی آشنا شده و مرور ارزشمندی بر کلیه مطالب کتاب داشته باشند.

محاسبات عددی علم و هنر محاسبه است. محاسبات عددی (یا آنالیز عددی) به مطالعه‌ روش ها و الگوریتم‌ هایی گفته می شود، که تقریب های عددی (در مقابل جواب‌ های تحلیلی) را برای مسائل ریاضی بکار می برند. محاسبات عددی با اعمال شیوه‌ های تقریبی محاسباتی به حل مسائلی از ریاضیات پیوسته می پردازد، که به روش تحلیلی قابل حل نبوده و یا به سختی قابل حل تحلیلی هستند. ضمنا علمی که فرمول های تئوریک را به صورت الگوریتم های رایانه ای برای کامپیوترها آماده ساخته است، علم محاسبات عددی است. در آموزش حاضر، مخاطبین و علاقه مندان مباحث عددی را با توجه به ضرورت و امکان استفاده از رایانه به خصوص زبان برنامه نویسی دقیق و پیشرفته MATLAB فراگرفته و می آموزند.

به کمک پکیج NetworkX می توان شبکه ها را ایجاد و دست کاری کرد. گره های یک گراف در این پکیج می توانند متن، تصاویر و یا موارد دیگر باشند. همچنین یال ها (لبه ها) می توانند وزن یا سری زمانی را نگه داری کنند. در این پکیج، بسیاری از الگوریتم های مربوط به گراف موجود است. به کمک این پکیج می توان کارهای مختلفی از جمله تعیین کوتاه ترین مسیر بین دو گره یا محاسبه فاصله یک گره از سایر گره های دیگر را انجام داد. به کمک معیارهای مرکزیت (Centrality Measures) مانند رتبه و بینابینی، می توان تاثیرگذارترین گره های موجود در شبکه را پیدا کرد. پایه معیار مرکزیت رتبه، این است که گره های مهم تر اتصالات بیشتری دارند. معیار مرکزیت بینابینی، تعداد دفعاتی که یک گره خاص به کوتاه ترین مسیر انتخابی بین دو گره دیگر می رسد، را تعیین می کند. هدف از این آموزش، آنالیز سریع شبکه ها است.

در این فرادرس می خواهیم بحث آنالیز ترکیبی و احتمالات را در قالب یک آموزش مدون ارائه کنیم. اهمیت این موضوع در رشته های فنی و مهندسی بخصوص مهندسی صنایع، مهندسی برق و کامپیوتر مشهود است. در این آموزش بر اساس چندین کتاب معروف از جمله کتاب احتمالات شلدون راس (Sheldon Ross) و بخش اول کتاب احتمال، متغیرها و فرایندهای تصادفی پاپولیس و پیلای تمرینات مهمی حل خواهد شد. لازم به ذکر است که سطح آموزش طوری است که برای تمامی طیف ها (دانشجویان و داوطلبان کنکور کارشناسی ارشد) مفید می باشد.

نرم افزار میپل که در ابتدای دهه هشتاد میلادی و در دانشگاه واترلو (Waterloo) کانادا پایه گذاری شد، نرم افزاری است که سعی کرده است دو مشکل بالا را حل کند. در نسخه های جدید این نرم افزار، بسیاری از مسائل محاسباتی با پاسخ دقیق و صریح ارائه می شود. یادگیری این نرم افزار کار آسانی است زیرا برای وارد کردن داده ها می توان از همان علائم ریاضی که در کلاس های درسی بیان می شوند استفاده نمود. ضمن این که نرم افزار میپل، قابلیت های فراوانی از جمله تبدیل خروجی ها به کدهای متلب و دستورات LaTeX را نیز دارد. ما در این فرادرس سعی داریم که برخی از قابلیت های محاسباتی نرم افزار میپل را معرفی نماییم. از جمله این توانایی ها می توان به: محاسبه بسیاری از انتگرال ها، مشتق ها و معادلات اشاره کرد. همچنین محاسبات پیشرفته تری از جمله حل دستگاه معادلات جبری و اعمال وسیعی روی ماتریس ها در این فرادرس آموزش داده خواهد شد.

در این آموزش قصد داریم ابتدا به تعاریف پایه ای ماتریس ها و خواص آن ها بپردازیم و با فضاها و زیرفضاهای برداری آشنا شویم. پس از آن به حل مساله حداقل مربعات می پردازیم. در نهایت نیز با تعاریف مقادیر، بردارهای ویژه و مقادیر منفرد ماتریس ها آشنا خواهیم شد.

در حال حاضر سرعت پیشرفت علم و انتشار مقالات علمی آنچنان بالا می باشد که گاهی در مدت زمانی که طول می کشد تا محاسبات لازم برای یک مقاله انجام شود، در نقطه ای دیگر مشابه با کار ما انجام می شود. چنانچه قصد حرکت در این مسیر پرشتاب را داریم باید گامی رو به جلو برداریم و بر قابلیت های خود بیفزاییم. یکی از ابزارهایی که می تواند به ما در این مسیر کمک کند، نرم افزار قدرتمند متمتیکا (Mathematica) می باشند. در این آموزش سعی بر آن شده که کلیه دستورهای لازم و مهم برای انجام کار با نرم افزار متمتیکا (Mathematica) و رفع تمامی نیازهای کاربر گفته شود.

ریشه یابی (Root Finding) و حل معادلات، یکی از مهم ترین انواع مسائل به شمار می رود، که در حوزه های مختلفی از علوم پایه، علوم فنی - مهندسی، و رشته های کاربردی مطرح می شود. در حالت کلی، برای ریشه یابی و حل معادلات، رویکرد بسته ای وجود ندارد و غالبا ما مجبوریم از روش های محاسبات عددی برای حل معادلات به صورت عددی استفاده کنیم. هدف این فرادرس تشریح مبانی تئوری و نظری هریک از روش ها و سپس پیاده سازی عملی در متلب است.

هدف از ارائه این فرادرس، آموزش کامل و مفهومی درس توابع مختلط است که یکی از دروس پایه ای رشته ریاضیات و نیز از مهم ترین دروس ریاضی عمومی کلیه شاخه های مهندسی به حساب می آید. بدین جهت که امروزه در دنیای علوم مادی و فضایی، دانشمندان میل و رغبت زیادی به حل مسائل با استفاده از روش های دقیق تر و سریع تر دارند، اهمیت مباحث ارائه شده در این آموزش بر کسی پوشیده نیست. کافی است به مقالات متعدد نگاشته شده در مجلات علمی و به روز دنیا مراجعه نماییم تا بیش از پیش به ضرورت فراگیری کامل توابع مختلط و به کار گیری آن در پیشبرد اهداف عالیه علمی و حتی نگاشتن مقالات معتبر با به کارگیری این توابع پی ببریم.

هدف از ارائه این فرادرس، آموزش مطالب مرتبط با مباحث درس آنالیز حقیقی است که در دوره کارشناسی ارشد رشته ریاضی محض به عنوان اولین درس مقدماتی به دانشجویان آموزش داده می شود. این فرادرس شامل ۴ درس می باشد و از آنجایی‌ که این درس مقدمه‌ ای بر سایر دروس کارشناسی ارشد است و در بسیاری از مباحث دانشجویان را برای تکمیل پایان‌ نامه یاری می ‌کند، لذا از اهمیت بالایی برخوردار می‌ باشد و لازم است که این مطالب به خوبی فرا گرفته شده تا بتوانند در صورت نیاز از آن ها استفاده کنند.

در درس جبر پیشرفته، مباحث مهمی همچون: مدول های روی دامنه ایده آل اصلی، مدول های آزاد، رسته (کتگوری)، تابعگون (فانکتور)، ضرب و هم ضرب، ضرب تانسوری، دنباله های دقیق، مدول های تصویری، تخت و تزریقی، مدول های آرتینی و نوتری، مدول های ساده و نیم ساده، نظریه نمایش، رادیکال جیکوبسون، قضایای مربوط به چگالی و… مورد بررسی قرار می گیرد. این مباحث جزو اصولی ترین مباحث ریاضی محسوب می شوند و هر دانشجویی در مقطع کارشناسی ارشد باید با این مباحث آشنایی کامل داشته باشد تا بتواند به امور تحقیقاتی خود بپردازد. به دلیل بالا بودن حجم مطالب، یادگیری این آموزش از مزایای ویژه ای برخوردار است که می توان به مواردی مثل: صرفه جویی در زمان، تعیین سرعت آموزش و زمان یادگیری توسط دانشجو و جامع بودن مطالب، اشاره کرد.

ماشین حساب های مهندسی با قابلیت برنامه نویسی، ابزاری در دسترس، برای اجرای روند محاسباتی پیچیده و طولانی هستند. هدف از این فرادرس، افزایش توانایی مهندسین در استفاده از ماشین حساب های مهندسی و همچنین آموزش نحوه انجام محاسبات طولانی و چرخه ای مهندسی با استفاده از قابلیت برنامه نویسی این ماشین حساب ها است. بدین منظور، ابتدا توضیحات کلی درباره انواع ماشین حساب های مهندسی متداول ارائه شده است و قابلیت آن ها تشریح می گردد و قسمت های مختلف ماشین حساب به صورت کلی مورد بررسی قرار می گیرد. در قسمت بعد، نحوه شروع به کار با قسمت برنامه نویسی توضیح داده می شود و سپس روند ایجاد یک برنامه و نحوه استفاده از دستورهای محاسباتی و توابع مختلف موجود در ماشین حساب آموزش داده خواهد شد همچنین در پایان هر قسمت نیز مثال هایی کاربردی از برنامه نویسی در ماشین حساب مهندسی آورده شده است.

در این آموزش ابتدا تعاریف مقدماتی نظریه گروه ها را که برای مطالعه مفاهیم گراف ها مورد نیاز هستند را بررسی کرده و بعد از معرفی گراف های ساده و پیش نیازهای مربوطه، خواص گراف های مرتبط با گروه ها را بررسی می کنیم. خواصی مانند: راس انتقالی بودن، یال انتقالی بودن، مسطح بودن گراف ها و مفاهیمی همچون: مسیرها و دورهای همیلتونی، جور سازی، زیرگراف های فراگیر و القایی در این درس گنجانده شده اند. هدف از ارائه این آموزش، فراگیری خواص گراف های مهمی مانند: گراف کیلی، گراف پترسون، گراف جانسون، گراف های مکعبی، گراف های ناجابجایی و… است که پلی مستحکم بین مفاهیم گروه و گراف برقرار کرده اند.

امروزه کامپیوترها و روش های عددی جایگزینی برای محاسبات پیچیده را فراهم می کنند. با استفاده از قدرت کامپیوتر برای به دست آوردن راه حل به طور مستقیم، می توان این محاسبات را بدون توسل به فرضیات ساده و یا تکنیک های زمان بر آن انجام داد. اگر چه راه‌ حل های تحلیلی برای حل مساله هنوز هم بسیار با ارزش بوده و فراهم آورنده بینش است، روش های عددی جایگزینی را ارائه داده که توانایی ها را برای رویارویی و حل مسائل توسعه می دهد. در نتیجه، زمان بیشتری برای استفاده از مهارت های خلاق در دسترس است.

در این فرادرس، دانشجویان عزیز، با مباحث مختلف محاسبات انتگرال با MATLAB و Maple آشنا می شوند. استفاده همزمان این دو نرم افزار توصیه می شود و البته این دو نرم افزار امکان لینک شدن را نیز دارند. به طوری که در خلال MATLAB می توان Maple و دستورات آن را فراخوانی کرد. سرفصل هایی که در این آموزش به آن پرداخته می شود، روش های انتگرالگیری تحلیلی و عددی، برنامه نویسی در محیط نرم افزار mupad، لینک دو نرم افزار MATLAB و Maple و... است. توضیح کامل مباحث مربوطه و آموزش توسط یکی از بهترین مدرسین متخصص در این  زمینه  از نقاط قوت این آموزش به  شمار می رود.

آزمون آلس (ALES) عنوان امتحان ورودی تحصیلات تکمیلی (کارشناسی ارشد و دکتری) بوده و و نمره آن جهت ورود به دوره های تحصیلات تکمیلی و موارد مشابه، از قبیل: پذیرش هیات علمی، دستیاران پژوهشی، متخصصان، مترجمان و برنامه ریزان آموزشی در دانشگاه های ترکیه مورد نیاز است. این آزمون، سالی ۲ بار تحت نظارت سازمان ÖSYM (مشابه سازمان سنجش کشور ایران) در ماه های اردیبهشت (May) و آبان (November) برگزار می گردد که از دو بخش کلامی (Sözel) و رقمی (Sayısal)، ریاضی، هندسه و هوش تشکیل شده است. هر بخش شامل ۵۰ سوال (در مجموع ۱۰۰ سوال) است که باید در مدت زمان ۱۵۰ دقیقه پاسخ داده شود. سوالات بخش رقمی برای فارغ التحصیلان علوم فنی و مهندسی، از اهمیت ویژه و ضریب بالایی برخوردار است.

جبر جا به‌ جایی، براساس مطالعه حلقه های جا به‌ جایی استوار شده است. جبر جا به‌ جایی مدرن یکی از سنگ بناهای هندسه جبری جدید است که توسط الکساندر گروتندیک (Grothendieck) معرفی شده است. این شاخه بسیار مهم جبر مجرد، به واسطه دو منبع هندسه جبری که شامل مطالعه چندجمله ای های چند متغیره روی یک میدان است و ارتباط تنگاتنگی با هندسه دارد و نیز نظریه جبری اعداد که در آن حلقه اعداد صحیح مورد مطالعه قرار داده می شود و کاربرد فراوانی در شاخه های مهم ریاضیات مانند ترکیبیات و گراف دارد، پیشرفت کرده است. در این آموزش به صورت گسترده تمام مسائل مربوط به جبر جا به‌ جایی در نهایت دقت ارائه شده است.

مبحث احتمال و هندسه از مفاهیم مهم آزمون های ورودی دانشگاه ها، از جمله آزمون آلس (ALES) برای ورود به دانشگاه های ترکیه است. در این فرادرس ابتدا با نکات مهم و پر کاربرد مربوط به احتمالات آشنا می شویم، سپس با معرفی نکات مهم و مفاهیم ضروری مبحث زاویه در زبان ترکی استانبولی، وارد مبحث هندسه می شویم و در درس بعدی روابط موجود بین زاویه ها و مثلث ها را بیان نموده که تقریبا در اکثر آزمون های آلس از این بخش سوال داده می شود و در ادامه مسائل مربوط به میانه و نیمساز در مثلث ها مورد بحث واقع می شود.

در بررسی هر دسته از اشیای جبری، شناخت ساختار آن ها از ضروریات است. جبر ناجابه‌ جایی و به طور خاص نظریه حلقه های ناجابه‌ جایی از این قاعده مستثنی نیست. این مبحث ساختار زیبا و صد البته دشواری دارد. مزید بر مطلب مذکور بر هیچ جبریستی پوشیده نیست که شناخت ساختمان یک حلقه ناجابه‌ جایی تا چه اندازه می تواند برای دست یافتن به روابط کلیدی میان اعضای حلقه مفید باشد. در این راستا ارائه روش مناسب مطالعه و کشف دقیق ساختارهای موجود میان عضوهای چنین حلقه هایی از اهم موضوعاتی است که ذهن پویای علاقه مندان به این رشته را به خود مشغول ساخته است.

امروزه هندسه فینسلری به عنوان یک ابزار قدرتمند در بسیاری از حوزه های صنعت و رشته های مهندسی مورد استفاده قرار گرفته است. این هندسه به عنوان تعمیمی از هندسه اقلیدسی و هندسه ریمانی این امکان را به وجود می آورد تا محققین رشته های ریاضی، مکانیک، صنایع و فیزیک بتوانند در تحقیقات خود تفسیری بهتر از پدیده های فیزیکی داشته و مدل های حرکتی مناسبی را ارائه دهند. در این آموزش علاوه بر بیان مفاهیم هندسه فینسلری به صورت پایه ای و بنیادی سعی می شود کاربردهای هندسه فینسلری به خصوص در مساله ناوبری مورد مطالعه قرار گیرد که در این راستا از برنامه میپل (Maple) جهت پیاده سازی مساله ناوبری زرملو (Zermelo's navigation) استفاده می شود.

گروه های جایگشتی، دسته ای از گروه های متناهی هستند که به صورت مستقیم و غیرمستقیم در مواردی شامل: رمزنگاری، کدگذاری، علوم فیزیک، شیمی، نجوم، کامپیوتر، برق و… کاربرد دارند. دانستن در مورد گروه های جایگشتی، زمانی برای جویندگان علم اهمیت می یابد که در تحقیقات خود به خصوص در دوره تحصیلات تکمیلی با این مفهوم مواجه می شوند. یکی از مفاهیم پرکاربرد در علوم یاد شده، گراف ها هستند و این در حالی است که مطالعه گراف ها در سطح پیشرفته، نیازمند تسلط بر مفاهیم گروه های جایگشتی و خواص آن ها است.

هدف از ارائه این آموزش، بیان تئوری‌ها و کاربردهای جبر خطی برای دانشجویان رشته‌های ریاضی، مهندسی و علوم کاربردی است. تکنیک‌های حل دستگاه معادلات خطی و جبر بردارها در درس یکم مورد بررسی قرار می‌گیرد. آنالیز ماتریسی، تبدیلات ماتریسی و خطی، در درس دوم بحث می‌گردد. دترمینان، مقادیر ویژه و بردارهای ویژه، مباحث کلیدی در درس سوم هستند که کاربردهای آن‌ها نیز بیان می‌گردد. در درس چهارم به‌ صورت دقیق‌‌تر و جزئی‌‌تر به فضاهای برداری و خواص آن‌ها می‌پردازیم. در نهایت و در درس آخر آموزش، یکی از مهم‌ترین کاربردهای جبر خطی یعنی حل مساله حداقل مربعات، شرح داده می‌شود. در تمام درس‌ها سعی می‌گردد که با ارائه‌ مثال‌های متنوع و گویا، کاربرد جبر خطی در مسائل مهندسی و علوم کاربردی نشان داده شود.

درس محاسبات عددی یکی از دروس تخصصی کلیه رشته های فنی مهندسی و علوم پایه به شمار می رود. اهمیت این درس از این بابت است که در محاسبات مهندسی به پیدا کردن جواب نیاز داریم و در اکثر مسائل با توجه به اینکه جواب دقیق (تحلیلی) وجود نداشته یا اطلاعات کافی برای ارائه آن موجود نیست، به کمک محاسبات عددی، جواب تقریبی ارائه می گردد. برای به دست آوردن جواب تقریبی نزدیک به جواب دقیق، به استفاده از نرم افزارهای محاسباتی، مانند: پایتون، متلب (MATLAB)، متمتیکا (Mathematica)، میپل، SPSS و C نیاز داریم. در این فرادرس، درون یابی، مشتق گیری و انتگرال گیری، ریشه معادلات، حل معادلات دیفرانسیل، تعیین مقادیر ویژه و روش کمترین مربعات همراه با کدنویسی در زبان پایتون ارائه می گردد.

درس مبانی آنالیز ریاضی، به منظور بیان مفاهیمی همچون حد، پیوستگی، مشتق پذیری، کرانداری، دنباله و سری و… که در سایر دروس مانند ریاضی عمومی، مبانی ریاضیات و… نیز به صورت ساده استفاده می گردد، می پردازد. با یادگیری این مباحث می توان به درک درستی از مفاهیم اصلی ریاضیات دست پیدا کرد. در این فرادرس قصد داریم با ارائه مطالب و مباحث مختلف در قالب تعریف، قضیه و مثال، مفاهیم مورد نیاز در هر مبحث را به طور ساده و قابل فهم بیان نماییم.

جبر خطی عددی، با استفاده از کامپیوترهای دقیق، به حل مشکلات ریاضیات کمک می کند. بنابراین، کاربردهای آن در علوم طبیعی و اجتماعی به اندازه کاربردهای ریاضیات گسترده است. این درس بخش مهمی از مشکلات مهندسی و علوم محاسباتی، مانند: پردازش تصویر و سیگنال، ارتباط از راه دور، امور مالی محاسباتی، شبیه سازی علوم مواد، زیست شناسی ساختاری، داده کاوی، بیوانفورماتیک و دینامیک سیالات را پوشش می دهد. روش های ماتریسی به خصوص در روش های اختلاف محدود، روش های المان محدود و مدل سازی معادلات دیفرانسیل استفاده می شوند. David Bau با اشاره به کاربردهای گسترده جبر خطی عددی، معتقد است که این درس برای علوم ریاضی به عنوان حساب و معادلات دیفرانسیل، درسی اساسی است، حتی اگر یک زمینه نسبتا کوچکی از آن را در بر گیرد.

امروزه گسترش علوم ریاضی و مسائل کاربردی آن، یکی از اهداف نظام های آموزشی است که این امر مستلزم تربیت نیروهای دانش آموخته در این زمینه است و لذا استفاده از تکنیک های موثر و سودمند جهت انتقال بهتر و سریع تر دانش ریاضی، همواره مورد توجه صاحب نظران بوده و هست. در همین راستا و با در نظر گرفتن این هدف، به معرفی و آموزش یکی از نرم افزارهای کاربردی با عنوان FX Graph خواهیم پرداخت. محیط کاربری راحت و آسان این نرم افزار، امکان رسم و حل معادلات ریاضی را برای بسیاری از رشته ها از قبیل: ریاضی، تجزیه و تحلیل مالی، آمار زیستی، اقتصاد، صنعت بیمه، مراقبت های بهداشتی، مدیریت، صنایع و تحقیقات بالینی و... فراهم می نماید.

هدف از ارائه این آموزش، بیان تئوری ها و کاربردهای جبر خطی برای دانشجویان رشته های ریاضی، مهندسی و علوم کاربردی است. در این آموزش مواردی همچون: تکنیک های حل دستگاه معادلات خطی، جبر ماتریس ها، فضاهای برداری، نرم ماتریس، ضرب داخلی و تعامد، تکنیک های محاسبه دترمینان ماتریس ها، مقادیر ویژه و بردارهای ویژه ماتریس ها، مورد بحث و بررسی قرار می گیرند. مبنای این آموزش حل مساله است و با فرض این که دانشجویان با جبر خطی آشنایی کامل دارند، تهیه شده است که البته برای انتقال بهتر مفاهیم در ابتدای هر درس، حدود ۲۰ الی ۳۰ درصد مفاهیم اصلی جبر خطی مرور می شود.

در این فرادرس علاوه بر آموزش تشریحی مطالب، مبنای تدریس بر حل مساله استوار است. در واقع با حل مسائل پایه‌ای و مختلف، مفاهیم و موضوعات درسی به طور عمیق و دقیق تدریس می‌شود و در نهایت دانشجو از مراجعه به سایر منابع و کتب بی‌نیاز می‌گردد. بی‌تردید برای دانشجویان، فرایند درک عمیق‌تر مفاهیم ریاضی، تسلط بر کاربرد آن‌ها، پی بردن به فنون و ریزه‌کاری‌های ریاضی و سرانجام کسب آمادگی‌های لازم برای پیشرفت در دنیای ریاضی، با حل مساله همراه است. بنابراین این آموزش، پس از بررسی ایده‌ها و الگوریتم‌های پیشرفته عددی با حل تشریحی تمرینات متعدد از کتاب‌های مرجع، دانشجو را از هر کتاب و منبعی در این درس بی‌نیاز می‌نماید.

در این فرادرس سعی داریم تا به دانشجویان بیاموزیم که چگونه یک معادله و یا یک دستگاه معادلات خطی را با استفاده از روش‌های عددی حل کنند و با استفاده از زبان برنامه‌نویسی فرترن، الگوریتم حل را تبدیل به کد فرترن کنند. همچنین از میان روش‌های مختلفی که تشریح می‌‌شود، روش مناسب را برای مسائل مورد نظر خود انتخاب کنند. ناگفته نماند که روش‌‌های تشریح‌شده در این فرادرس، شامل تمامی روش‌‌هایی است که در اغلب دانشگاه‌ها تدریس می‌شود.