مجموعه آموزش رایگان ریاضی و فیزیک

یکی از الگوریتم های معروف و پرکاربرد در میان توابع هش، الگوریتم SHA-1 (یا نسخه ۱ الگوریتم Security Hash Algorithm) است که در سال ۱۹۹۵ معرفی شده است. اما در سال 2005، به صورت نظری ثابت شد که احتمالا یافتن تصادم در این الگوریتم، با کامپیوترهای فعلی، یک موضوع عادی خواهد بود. این موضوع، باعث شد که برخی از شرکت های فعال در حوزه فناوری اطلاعات، استفاده از این الگوریتم را متوقف نمایند. اما این موضوع و خطر، چندان جدی گرفته نمی شد، تا این که در ۲۳ فوریه سال ۲۰۱۷ میلادی (۵ اسفند 1395)، تیمی مشترک بین گوگل و گروه CWI Amsterdam توانستند دو فایل PDF متفاوت بسازند که دارای هش SHA1 کاملا برابر با هم هستند. این خبر، انگیزه ارائه این آموزش رایگان بر روی فرادرس بود، تا ضمن آشنایی با توابع هش، به بررسی این خبر مهم بپردازیم.

در این فیلم آموزشی، سعی شده است که به صورت مختصر، این موارد بررسی شوند و دیدی کلی به علاقه مندان به ریاضیات و فیزیک، در خصوص این تعارض ارائه شود. تعارضاتی که با وجود اشتباه بودن از نظر ریاضی، عملاً تنها ابزار موجود برای توصیف پدیدهای فیزیکی خاصی هستند، که اساسا به دنیای چهار بعدی قابل مشاهده برای ما، تعلق ندارند.

در این فیلم آموزشی، با مروری بر مفاهیم بنیادی کواترنیون ها و تاریخچه پیدایش و معرفی آن ها توسط هامیلتون، در خصوص قواعد جبری حاکم بر فضای کواترنیون ها، صحبت شده است. در ادامه، با استفاده از ماتریس ها، یک نمایش ماتریسی، در قالب ماتریس های مربعی چهار در چهار، برای کواترنیون ها معرفی شده است. با استفاده از همین نمایش ماتریسی، این امکان وجود دارد که بتوان اعداد چهار بعدی کواترنیون را، در محیط متلب پیاده سازی نمود. این کار در ادامه همین فیلم آموزشی انجام شده است و با تعریف توابع مربوطه، امکان انجام محاسبات کواترنیونی در متلب ایجاد و پیاده سازی شده است.

در این فیلم آموزشی کوتاه، به مرور تابع زتای ریمان و فرضیه ریمان در خصوص صفرهای این تابع پرداخته شده است و علاوه بر مرور مباحث علمی مربوط به این موضوع، تاریخ مرتبط با تحقیقات این مساله بزرگ ریاضی نیز، مورد بررسی واقع شده است. همچنین، با معرفی تابع ددکیند و رامانوجان، نوع دیگری از توابع خانواده L (که تابع زتا نیز از آن جمله است) معرفی شده است. توابع L و خواص آن‌ ها، توسط اندرو وایلز، در اثبات آخرین قضیه فرما، که تا مدت‌ ها یکی از بزرگترین مسائل حل نشده ریاضی بود، مورد استفاده قرار گرفت.

در این فیلم آموزشی، مساله مونتی هال با جزییات کامل و تاریخچه مربوط به آن، بررسی شده است و به صورت کامل راه حل متعارضی که برای این مساله وجود دارد، مورد بحث واقع شده است. علاوه بر پارادوکس مونتی هال، مسأله سه کارت یا پارادوکس برتراند نیز در این آموزش مورد بحث واقع شده است. این دو مسأله شباهت های زیادی با هم دارند و تعارض موجود در ساختار آن ها نیز، بسیار نزدیک به هم است. اگر مایل هستید که با این مسائل جالب و کاربردی بیشتر آشنا شوید و راه حل درست ریاضی آن ها را فرا بگیرید، تماشای این آموزش را از دست ندهید.

در این آموزش، الگوریتم بند کفش به صورت کامل مورد بررسی واقع شده است و نحوه به دست آوردن روابط آن نیز، اثبات شده است. در ادامه، این الگوریتم در محیط متلب پیاده سازی شده است تا به صورت عملی، کاربرد این روش نمایش داده شود. این الگوریتم، حالت خاصی از رابطه انتگرالی مساحت است که در صورت ساده سازی برای اشکال چند ضلعی، به صورت دترمینان های توسعه یافته، قابل توصیف و محاسبه خواهد بود. روابط مشابهی برای محاسبه حجم و سایر شاخص های هندسی در فضاهای مختلف قابل تعریف هستند که اشاراتی هم به این موارد در این فیلم آموزشی انجام شده است.

در این آموزش، در ابتدا روش ترسیمی خیام برای حل معادله درجه سه توضیح داده می شود. سپس با استفاده از زبان برنامه نویسی و نرم افزار متلب، برنامه ای برای پیاده سازی روش خیام نوشته می شود. برنامه پیاده سازی شده، به صورت کلی است و با دریافت ورودی های مورد نیاز، می تواند همه بخش های روش خیام را عملیاتی کند. در نهایت، در بخش انتهایی این فیلم آموزشی، روش خیام به صورت ریاضی اثبات و درستی آن نشان داده می شود.

در این فیلم آموزشی، که به صورت رایگان در فرادرس منتشر شده است، در ابتدا حالات ساده بسط دو جمله ای و اتحادهای مرسوم مورد بررسی قرار می گیرند. در ادامه، ارتباط میان این بسط (با توان های صحیح) و مثلث خیام (یا مثلث پاسکال) بررسی می شود. در نهایت، ضمن بیان فرمول بازگشتی تولید اعداد در مثلث خیام، رابطه بسته مربوط به این جملات در قالب فرمول ترکیبی مبتنی بر فاکتوریل، بیان شده است.

بسته نرم افزاری Chebfun (چب فان)، یک تولباکس متن باز (کد باز) برای نرم افزار متلب (MATLAB) است که هدف آن، تعمیم توابع پایه متلب به حوزه توابع است. در آنالیز ریاضی، فضای توابع، عملا یک فضای برداری محسوب می شود و همه تعاریفی که برای بردارها و ماتریس های عددی در نظر گرفته شده‌ است، برای توابع نیز قابل تعریف هستند. در تولباکس چب فان، توابع پایه متلب که بر روی ماتریس ها و بردارهای عددی کار می کنند، به حوزه توابع تعمیم داده شده اند و انجام محاسبات عددی بر روی توابع را، به شکل جالبی، ساده و کارآمد کرده اند. مثلاً تابع sum که برای جمع کردن درایه های یک بردار کاربرد دارد، در صورت اعمال شدن روی یک تابع، انتگرال معین آن را در بازه تعریف تابع محاسبه می کند.