آموزش قضیه بسط دو جمله ای و مثلث خیام (رایگان)

قضیه بسط دو جمله ای، که حالت های خاص آن در قالب اتحادهای ریاضی در ریاضیات مقطع دبیرستان و سال های ابتدایی دانشگاه مورد بررسی قرار می گیرند، یکی از روابط مهم در شاخه های مختلف ریاضیات است، که حاصل کار ریاضی دانان متعددی است. در میان افرادی که بر روی این قضیه و مقدمات آن کار کرده اند، ریاضی دانان و دانشمندان ایرانی نیز هستند، که از مهم ترین آن ها، می توان به ابوبکر کرجی و عمر خیام اشاره کرد.

در این فیلم آموزشی، که به صورت رایگان در فرادرس منتشر شده است، در ابتدا حالات ساده بسط دو جمله ای و اتحادهای مرسوم مورد بررسی قرار می گیرند. در ادامه، ارتباط میان این بسط (با توان های صحیح) و مثلث خیام (یا مثلث پاسکال) بررسی می شود. در نهایت، ضمن بیان فرمول بازگشتی تولید اعداد در مثلث خیام، رابطه بسته مربوط به این جملات در قالب فرمول ترکیبی مبتنی بر فاکتوریل، بیان شده است.

در ادامه، برای توان های غیر صحیح نیز رابطه بسط دو جمله ای بررسی می شود و روشی برای محاسبه ضرایب بسط ارائه می شود. ضمنا، نشان داده می شود که با همان رابطه بازگشتی در مثلث خیام، امکان محاسبه سطرهای بالاتر یا پایین تر برای توان های غیر صحیح نیز وجود دارد. البته در حالت کلی، با تغییر تابع فاکتوریل به تابع گاما، امکان رسیدن به فرمول جامع بسط دو جمله ای هم وجود دارد که حتی می تواند عوامل با توان های غیر صحیح را شامل شود.

برای اعداد صحیح و منفی نیز، امکان استفاده از مثلث خیام برای محاسبه جملات بسط دو جمله ای مقدور است و به این ترتیب، ارتباط میان بسط دو جمله ای، مثلث خیام و بسط های تیلور و ماک لوران نیز اثبات می شود. این مورد نیز در بخش انتهایی این ویدیوی آموزشی مورد بحث و بررسی قرار می گیرد.