شاید تاکنون این سوال به ذهن شما خطور کرده باشد که بزرگ ترین بازه اعداد در ریاضیات شامل چه اعدادی است و آیا این بازه از اعداد توانسته اند در زندگی بشر کارایی لازم را داشته باشند یا خیر؟
برای پاسخ به این پرسش ها کافی است نگاهی به تعاریف ریاضی اعداد مختلط بیندازیم که دانشمندانی چون: اویلر، گاوس، ریمان و کوشی با آن سر و کار داشته اند. اعدادی که دنیای بزرگ توابع مختلط را برای ما به ارمغان آورده اند و گرچه به ظاهر ساده به نظر می رسند اما توانسته اند در حل مسائل فیزیک نظری، نظریه میدان های کوانتومی، دینامیک شاره ها، ترمودینامیک، نظریه ریسمان و حتی مهندسی عمران و هوافضا، گامی بزرگ بردارند.
به عنوان مثال در رشته عمران و در زمینه مکانیک شکست، برای بررسی گسترش ترک ها باید ضرایب شدت تنش به دقت محاسبه شوند تا بتوان تحلیل مناسبی از سازه های ترک خورده در برابر زلزله داشت. جالب است بدانید محاسبه این ضرایب با استفاده از توابع پر کاربرد مختلط صورت می گیرد.
هدف از ارائه این فرادرس، آموزش کامل و مفهومی درس توابع مختلط است که یکی از دروس پایه ای رشته ریاضیات و نیز از مهم ترین دروس ریاضی عمومی کلیه شاخه های مهندسی به حساب می آید.
بدین جهت که امروزه در دنیای علوم مادی و فضایی، دانشمندان میل و رغبت زیادی به حل مسائل با استفاده از روش های دقیق تر و سریع تر دارند، اهمیت مباحث ارائه شده این آموزش بر کسی پوشیده نیست. کافی است به مقالات متعدد نگاشته شده در مجلات علمی و به روز دنیا مراجعه نماییم تا بیش از پیش به ضرورت فراگیری کامل توابع مختلط و به کار گیری آن در پیشبرد اهداف عالیه علمی و حتی نگاشتن مقالات معتبر با به کارگیری این توابع پی ببریم.
فهرست سرفصل ها و رئوس مطالب مطرح شده در این مجموعه آموزشی، در ادامه آمده است:
- درس یکم: اعداد مختلط
- ویژگی های جبری اعداد مختلط
- قدر مطلق ها
- مزدوج های مختلط
- صورت نمایی
- صورت نمایی حاصل ضرب
- صورت نمایی خارج قسمت
- ریشه های اعداد مختلط
- درس دوم: توابع مختلط
- تعاریف اولیه توابع مختلط
- حد توابع مختلط
- قضایایی درباره حد
- مشتق توابع مختلط
- فرمول های مشتق گیری
- درس سوم: توابع تحلیلی
- معادلات کوشی – ریمان (Caucly – Rimann equations)
- شرایط کافی برای مشتق پذیری
- مختصات قطبی
- تعریف تابع تحلیلی
- تابع تام
- توابع همساز
- مزدوج همساز
- اصل بازتابی
- درس چهارم: توابع مقدماتی
- توابع نمایی مختلط
- توابع لگاریتمی مختلط
- شاخه ها و مشتقات لگاریتم
- اتحادهای لگاریتمی
- توابع مثلثاتی مختلط
- توابع هذلولوی
- توابع مثلثاتی معکوس
- توابع هذلولوی معکوس
- درس پنجم: انتگرال
- مشتقات توابع (ω(t
- انتگرال های معین توابع (ω(t
- مسیرها
- انتگرال گیری روی مسیر
- قضیه کوشی – گورسا
- حوزه های همبند ساده و چند گانه
- فرمول انتگرال کوشی
- مشتق توابع تحلیلی
- قضیه اساسی جبر
- قضیه لیوویل (Liouville’s theorem)
- درس ششم: سری های مختلط
- تعاریف اولیه
- همگرایی سری های مختلط
- سری تیلور (Taylor Series)
- سری لوران (Laurant Series)
- همگرایی مطلق سری های توانی
- همگرایی یکنواخت سری های توانی
- پیوستگی مجموع سری های توانی
- انتگرال گیری و مشتق گیری از سری های توانی
- یکتایی نمایش سری ها
- ضرب سری های توانی
- تقسیم سری های توانی
- درس هفتم: مانده ها و قطب ها
- تعریف مانده
- قضیه مانده کوشی (Residue theorem)
- استفاده از فقط یک مانده
- سه نوع نقطه تکین تنها
- صفرهای توابع تحلیلی
- صفرها و قطب ها
نظر شما در مورد این فرادرس چیست؟