آموزش ریاضی مهندسی

ریاضیات مهندسی، هنر اعمال ریاضیات به سیستم های واقعی پیچیده است که با ترکیب تئوری های ریاضیاتی، مهندسی عملی و محاسبات علمی به حل چالش های مهندسی می پردازد. بدون هیچ گونه تردیدی، ریاضیات مهندسی جز جدایی ناپذیر تمام علوم مهندسی است که بدون آن امکان حل اغلب مسائل مهندسی وجود ندارد. برای مثال در رشته مهندسی برق، برای بررسی نحوه پخش ولتاژ الکتریکی در داخل اجسام رسانا و یا در مهندسی مکانیک برای تحلیل ارتعاشات یک صفحه مستطیلی، از معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی استفاده می شود که این موضوع به صورت دقیق در ریاضیات مهندسی آموزش داده می شود.

علاوه بر رشته های مهندسی، رشته های علوم محض نیز از ریاضیات مهندسی بهره می برند. برای مثال، برای حل انتگرال های خیلی پیچیده از آنالیز توابع مختلط استفاده می شود که این موضوع نیز در ریاضیات مهندسی به صورت کامل تدریس خواهد شد. از طرفی، با وجود پیچیدگی مطالب، این درس همواره جذاب بوده و دانشجویان خیلی سریع به آن علاقه مند می شوند. در این آموزش به صورت کاملا کاربردی و گیرا، درس ریاضیات مهندسی تدریس می شود. در ابتدا، آنالیز فوریه (سری فوریه، انتگرال فوریه و تبدیل فوریه) بیان خواهد شد که هدف از آن، بیان سیگنال های متناوب و غیرمتناوب بر حسب سینوس و کسینوس است.

دلیل این کار این است که کار با توابع سینوس و کسینوس در علوم مهندسی خیلی راحت تر است. در نتیجه، به راحتی می توان سیستم های پیچیده را تحلیل نمود. در درس دوم به معادلات با مشتقات جزئی (PDE) پرداخته می شود یعنی معادلات دیفرانسیلی که دارای دو متغیر مستقل (مانند زمان و مکان) هستند و مشتقات هر دو متغیر مستقل در معادله دیفرانسیل وجود دارد. حل معادله موج تک بعدی و دوبعدی، حل معادله گرمای متناهی و نامتناهی، حل معادله لاپلاس در مختصات های کارتزین، قطبی، استوانه ای و کروی مباحث اصلی درس دوم خواهند بود.

علاوه بر این، استخراج معادلات PDE با داشتن جواب کلی، جواب دالامبر معادله موج، حل معادلات PDE به کمک تبدیل لاپلاس و تبدیل فوریه، همگن سازی شرایط مرزی و معادلات PDE مرتبه دوم مباحث دیگر درس دوم را تشکیل خواهند داد. در درس سوم، در ابتدا اعداد مختلط و جبر اعداد مختلط بیان خواهد شد. سپس توابع مختلط و ویژگی های آن ها یعنی حد، مشتق پذیری و تحلیلی بودن ارائه خواهد شد. در انتهای این درس نیز، به مبحث خیلی مهم نگاشت توابع مختلط پرداخته می شود.

در نهایت، انتگرال گیری مختلط، موضوع درس چهارم خواهد بود. در ابتدا روش مستقیم انتگرال گیری به کمک پارامتریزه کردن مسیر بحث می شود. سپس فرمول های انتگرال گیری کوشی بیان خواهد شد. سری های توانی، تیلور، مک لورن و لوران موضوعات بعدی درس چهارم به شمار می روند. در انتهای این درس نیز، به موضوع مهم انتگرال گیری به روش مانده ها خواهیم پرداخت. نشان خواهیم داد که اغلب انتگرال های مختلط و حقیقی خیلی پیچیده توسط قضیه مانده ها به راحتی حل خواهد شد.

فهرست سرفصل ها و رئوس مطالب مطرح شده در این مجموعه آموزشی، در ادامه آمده است:

• درس یکم: آنالیز فوریه
  • توابع متناوب
  • توابع پایه سینوس و کسینوس
  • سری فوریه با دوره تناوب π
  • الگوریتم اویلر برای تعیین ضرایب سری فوریه
  • قضیه تعامد توابع مثلثاتی
  • سری فوریه موج مربعی و آنالیز آن
  • سری فوریه توابع زوج و فرد
  • شرایط دیریکله برای برقراری سری فوریه
  • سری فوریه با دوره تناوب دلخواه L
  • سری فوریه توابع شبه فرد
  • بسط نیم دامنه سینوسی سری فوریه
  • بسط نیم دامنه کسینوسی سری فوریه
  • کاربرد سری فوریه در آنالیز ارتعاشات سیستم جرم -فنر – دمپر با ورودی متناوب
  • تقریب توابع با سری فوریه
  • نامساوی بسل و قضیه پارسوال (Parseval)
  • سری فوریه مختلط
  • ارتباط سری فوریه مختلط و حقیقی
  • سری های متعامد
  • معادله دیفرانسیل لژاندر (Legendre) و بسل
  • سری فوریه لژاندر
  • سری فوریه بسل
  • انتگرال فوریه
  • انتگرال فوریه پالس مستطیلی و آنالیز آن
  • خواص انتگرال فوریه
  • رابطه پارسوال در انتگرال فوریه
  • تبدیل فوریه سینوسی و کسینوسی
  • تبدیل فوریه سینوسی و کسینوسی مشتقات تابع
  • حل معادله دیفرانسیل معمولی با تبدیل فوریه سینوسی و کسینوسی
  • تبدیل فوریه
  • خواص تبدیل فوریه
  • محاسبه تبدیل فوریه با خواص آن
• درس دوم: معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی
  • معادله دیفرانسیل معمولی
  • معادلات دیفرانسیل معمولی بسل، لژاندر و کوشی اویلر
  • معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی (PDE)
  • مهم ترین معادلات PDE
  • یافتن معادلات PDE با داشتن جواب کلی آن
  • انواع جواب های معادلات PDE
  • شرایط مرزی و اولیه معادلات PDE
  • قضیه جمع آثار در معادلات PDE
  • حل معادلات PDE به روش معادلات ODE
  • معادلات PDE به کمک تغییر متغیر
  • جواب کلی معادلات PDE مرتبه اول
  • تکنیک جداسازی متغیرها
  • معادله موج تک بعدی
  • مدهای ارتعاش موج تک بعدی
  • جواب کامل معادله موج تک بعدی
  • جواب دالامبر معادله موج تک بعدی
  • حل معادله موج تک بعدی به کمک تبدیل لاپلاس
  • معادله گرمای تک بعدی در حالت متناهی (سری فوریه)
  • معادله گرمای تک بعدی در حالت نامتناهی (انتگرال فوریه)
  • فرم انتگرالی جواب معادله گرما
  • حل معادله گرمای تک بعدی نامتناهی به کمک تبدیل فوریه
  • حل معادله لاپلاس دوبعدی در مختصات کارتزین
  • حل معادله لاپلاس دوبعدی در ناحیه بی کران
  • حل معادله لاپلاس دوبعدی در مختصات قطبی
  • حل معادله موج دوبعدی در مختصات کارتزین
  • حل معادله موج دوبعدی در مختصات قطبی
  • حل معادله لاپلاس در مختصات کارتزین
  • همگن سازی شرایط مرزی معادلات غیرهمگن
  • معادلات PDE مرتبه دوم
  • انواع معادلات PDE مرتبه دوم (بیضوی، هذلولوی و سهموی)
  • تبدیل معادلات PDE مرتبه دوم به حالت استاندارد
• درس سوم: توابع مختلط و نگاشت
  • اعداد مختلط
  • جبر اعداد مختلط
  • نمایش قطبی و نمایی اعداد مختلط
  • ضرب و تقسیم اعداد مختلط در مختصات قطبی
  • توان n ام اعداد مختلط
  • ریشه n ام اعداد مختلط
  • مجموعه ها در صفحه مختلط
  • کاربرد اعداد مختلط در سری فوریه
  • توابع مختلط
  • حد و پیوستگی توابع مختلط
  • مشتق پذیری توابع مختلط
  • معادلات کوشی ریمان
  • معادلات کوشی ریمان در مختصات قطبی
  • توابع مختلط تحلیلی
  • تابع همساز
  • بررسی چند تابع تحلیلی مهم (نمایی، مثلثاتی، هیپربولیک، لگاریتمی و توان)
  • نگاشت توابع مختلط
  • نگاشت همدیس
  • نقاط ثابت نگاشت
  • نگاشت z^2
  • نگاشت z^n
  • نگاشت یاکوفسکی
  • نگاشت نمایی
  • نگاشت لگاریتم
  • نگاشت معکوس
  • نگاشت انتقال و چرخش
  • نگاشت ترکیبی و دلخواه
  • نگاشت کسری
  • نگاشت توابع مثلثاتی
  • نگاشت توابع مثلثاتی هیپربولیک
  • نگاشت موبیوس (تعیین ضابطه نگاشت با داشتن سه نقطه آن)
  • حل معادلات مشتقات مرزی به کمک نگاشت
  • حل معادله لاپلاس برای کابل کواکسیال غیرهم محور به کمک نگاشت
• درس چهارم: انتگرال گیری از توابع مختلط
  • انتگرال خط در صفحه مختلط
  • خواص انتگرال خط
  • پارامتریزه کردن مسیر انتگرال گیری
  • حل مستقیم انتگرال گیری با پارامتریزه کردن مسیر
  • کران بالای انتگرال خط
  • مسیر بسته و دامنه متصل
  • قضیه انتگرال کوشی
  • قضیه انتگرال گیری کوشی برای نواحی بسته چندگانه
  • فرمول های انتگرال گیری کوشی
  • مشتقات توابع تحلیلی
  • دنباله ها و سری ها
  • قضایای همگرایی سری ها
  • تست نسبت و تست ریشه
  • سری های توانی
  • شعاع همگرایی سری های توانی
  • عملیات های جبری بر روی سری های توانی
  • مشتق و انتگرال سری توانی
  • سری تیلور و مک لورن
  • چند سری تیلور مهم (سری هندسی، نمایی، مثلثاتی و هیپربولیک)
  • تکنیک های محاسبه سری تیلور (انتگرال گیری، مشتق گیری)
  • تکنیک های محاسبه سری تیلور (تبدیل به سری هندسی و دوجمله ای)
  • محاسبه سری تیلور با تجزیه به کسرهای جزئی
  • سری لوران
  • نواحی همگرایی سری لوران
  • نقاط تکین و صفرها
  • مانده ها
  • فرمول ها محاسبه مانده (قطب ساده و مرتبه m)
  • انتگرال گیری به روش مانده ها
  • محاسبه انتگرال های ((f(sin⁡(θ), cos(θ به کمک قضیه مانده ها
  • محاسبه انتگرال های کسری اکیدا سره f(x) به کمک قضیه مانده ها (تابع قطبی بر روی محور حقیقی ندارد)
  • محاسبه انتگرال های (f(x)cos(x و (f(x)sin(x به کمک قضیه مانده ها
  • محاسبه انتگرال های کسری اکیدا سره (f(x به کمک قضیه مانده ها (تابع بر روی محور حقیقی قطب دارد)